jueves, 19 de mayo de 2016

Ángulo entre planos que se cortan_Ejercicio y debate (parte 02)

<<Ejercicio como debate sobre el uso de la línea de tierra: necesaria o prescindible>>


Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!!

Como os anuncié en el post anterior, en éste continuaremos tanto con el ejercicio de ángulo entre planos que se cortan como con el debate sobre la línea de tierra. Para refrescaros la memoria, os enlazo el post anterior por si queréis visitarlo antes.


Pues bien, a continuación vamos a realizar mismo ejercicio pero teniendo la línea de tierra.


- CON línea de tierra.

Para comenzar, en el enunciado ya comprobamos las primeras diferencias. Los planos que se cortan vienen representados por sus trazas, a diferencia del ejercicio anterior en el que se representaban por 4 puntos de los planos.
Enunciado del ejercicio.

En primer lugar, vamos a situar un punto cualquiera P en el espacio, fuera de ambos planos, por donde van a pasar las rectas perpendiculares a cada plano.

En el diédrico, cuando trabajamos CON línea de tierra, podemos realizar directamente las rectas perpendiculares. Es decir, la perpendicularidad se visualiza en diédrico entre RECTA y PLANO, a diferencia del paralelismo que sólo se ve entre cosas iguales (plano-plano y recta-recta). Por tanto, podemos construir por en punto P tanto una perpendicular a α (s) como una perpendicular a β (r).
Recta r perpendicular a β.

Recta s perpendicular a α.


En este momento ya tenemos otro ejercicio. Como pasaba en el ejercicio realizado SIN línea de tierra, ahora nos tenemos que centrar en el ángulo que forman las rectas r y s, las cuales se cortan en el punto P. Para ver el ángulo en VERDADERA MAGNITUD, también necesitamos hacer un ABATIMIENTO. En este caso, en lugar de apoyarnos en una recta horizontal, vamos a construir un plano que contenga a ambas rectas r y s. Por esto, obtenemos las trazas de ambas rectas (Vr, Hr, Vs y Hs).
Plano γ (contiene a r y s)

En nuestro caso, la traza Vr no es visible en el “papel” que nos ocupa el ejercicio. No importa, ya que al unir Hr y Hs obtenemos el punto donde la traza horizontal γ1 corta con la LT. Desde ese punto, y pasando también por Vs, obtendremos la traza vertical γ2.
Así, podemos realizar el abatimiento de ambas rectas.

Nuestro “eje de abatimiento” va a ser γ1. Con este dato podemos decir que los puntos del eje, es decir, Hr y Hs (trazas horizontales de las rectas) ya están abatidas ya que serían puntos dobles del abatimiento.

El siguiente punto que vamos a abatir el Vr. Este punto pertenece a γ2, por lo que es el abatimiento más sencillo de realizar. En primer lugar, realizamos un “giro” con centro en el corte de las trazas del plano con la LT y radio hasta Vs. Este arco debe encontrarse con una recta perpendicular al “eje de abatimiento” que pase por la proyección horizontal de Vs. Así, obtendremos V0.

Por tanto, la recta s ya estaría abatida gracias a sus dos trazas Vs y Hs, así que podemos unir. A su vez, ya que el punto P pertenece a ambas rectas, y por tanto a la recta s, realizando una recta perpendicular al “eje de abatimiento” por la traza horizontal P1 (igual que hemos hecho abatiendo Vs), donde corte con s0 tendríamos el punto P abatido (P0).

Por tanto, ya tenemos también dos puntos abatidos de la recta r, Hr y el punto P. por lo que ya tenemos ambas rectas abatidas a partir del plano γ.

Para concluir el ejercicio, solo nos queda señalar el ángulo entre las rectas. Igual que en el caso anterior, he señalado el que es menor de 90° (δ), pero la elección es a gusto o según lo que pida el enunciado.

Me gustaría que intentaseis ejecutar el ejercicio propuesto de ambas formas para que dieseis vuestro punto de vista respecto al debate sobre la Línea de tierra.
Os incrusto también en este caso el protocolo de construcción de este ejercicio realizado en Geogebra para que podáis tener los pasos más detenidamente.




Desde mi punto de vista, generalmente en el colegio siempre se trabaja con LT porque es lo que siempre se ha hecho. Aun así, es importante conocer ambas ejecuciones.
Cuando trabajamos SIN línea de tierra, creo que analizamos de forma más profunda el por qué de cada trazado, por ejemplo, en la construcción de las rectas perpendiculares a los planos. A diferencia de cómo dibujarlas CON línea de tierra, algo que es directo, SIN línea de tierra debemos conocer los elementos que conforman los planos para extraer la información que nos interesa y poder realizar el ejercicio.

Por tanto, creo que ambas opciones son válidas y necesarias de conocer, pero a la hora de estudiar los elementos del diédrico creo que es más completa la forma de analizar el ejercicio SIN línea de tierra. ¿Pensáis lo mismo? Espero vuestros comentarios.

Espero que os haya gustado este paseo por un mismo ejercicio visto desde dos perspectivas diferentes.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

Ángulo entre planos que se cortan_Ejercicio y debate (parte 01)

<<Ejercicio como debate sobre el uso de la línea de tierra: necesaria o prescindible>>


Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!!

Ahora mismo estamos inmersos en las entregas finales del Máster en Formación del Profesorado, junto con Memorias de las Prácticas y el temido TFM! Pero uno de los trabajos finales de la asignatura “Dibujo asistido por ordenador” me ha dado la idea para la siguiente entrada del blog. Espero que os parezca interesante!!

En primer lugar, os voy a contar un poco el contexto en el que se encuentra el ejercicio propuesto. En esta asignatura nos propusieron construir una pieza en 3D con un programa informático (en mi caso Rhinoceros), a partir de la cual pudiésemos obtener diferentes ejercicios geométricos, entre los que se encuentra un ejercicio del SISTEMA DIÉDRICO.

Como comprobareis en la imagen que viene a continuación, el ejercicio propuesto a través de la pieza es el siguiente:
"Ángulo entre dos planos que se cortan"

Para resolver este ejercicio, si observáis el esquema en la parte superior, será necesario obtener dos rectas perpendiculares a ambos planos que se corten en un punto cualquiera P. Por igualdad de ángulos, el ángulo que forman las rectas será el mismo que formen los planos. Observamos que hay dos posibles ángulos entre planos, uno menor de 90° y otro mayor de 90°. Según el ángulo que obtengamos entre las rectas se referirá a uno u a otro.

Al querer realizar este ejercicio, me surgió el debate de si hacerlo CON o SIN línea de tierra. Para analizar si debe ser necesaria para realizar ejercicios en diédrico, o si es prescindible, voy a resolverlo de ambas formas. Así, analizaré de qué manera es más intuitivo o más fácil.

- SIN línea de tierra.
En primer lugar, centrándome en el método genérico, realizaré el ejercicio sin línea de tierra. Como comentaba anteriormente, para resolver este ejercicio necesitamos de cada plano una recta perpendicular que pase por un punto cualquiera M.
Enunciado del ejercicio
Al no tener línea de tierra, necesitamos situar tanto una recta horizontal como una frontal de cada plano, con las cuales podremos encontrar esas rectas perpendiculares que estamos buscando.
Como vemos en la imagen superior, hemos obtenido los siguientes elementos:
- Del plano ABCD: la recta horizontal h1 (roja) y la recta frontal f1 (azul).
- Del plano CDEF: la recta horizontal h2 (roja) y la recta frontal f2 (azul).

A partir de estas rectas construiremos las que son perpendiculares. Para ello, debemos situar un punto cualquiera (M) del espacio, por donde van a pasar ambas perpendiculares.
Para construir las perpendiculares, gracias tanto a la recta horizontal como a la frontal de cada plano, tenemos las direcciones de éste. Por ello, la recta perpendicular al plano será la que tenga sus proyecciones perpendiculares tanto a la proyección vertical de la recta horizontal (h1 y h2) como a la proyección horizontal de la recta frontal (f1’ y f2’).
Así, obtenemos t1 (verde) del plano ABCD y t2 (verde) del plano CDEF. Ahora nos tenemos que “olvidar” de lo anterior y centrarnos únicamente en estas rectas, ya que lo que necesitamos averiguar es el ángulo que hay entre ellas.

Para poder ver el ángulo en VERDADERA MAGNITUD, tenemos que hacer un ABATIMIENTO, el cual realizaremos apoyándonos en una recta horizontal h3 (azul oscura) que corte a ambas rectas t1 y t2.
Gracias a la recta h3, que actuará de “eje de abatimiento”, podemos realizar el abatimiento del punto M. Para ello, debemos tomar la “cota” de M desde la recta h3 y colocarla desde la proyección horizontal de M en paralelo a la proyección horizontal de h3.
Al colocar la cota en la proyección horizontal, obtenemos el radio de abatimiento de ese punto. Por lo que, con la circunferencia de radio Mh3 y centro M y una perpendicular desde M al “eje de abatimiento” (h3), obtendremos M0.
A su vez, si os fijáis en la imagen superior, hay dos puntos donde cortan las rectas t1 y t2 con el “eje de abatimiento” (h3), señalados por un punto negro. Esos puntos, al estar en el eje, son puntos dobles, es decir, el punto y su abatido corresponden. Por tanto, si unimos cada uno de esos puntos con el punto M0 obtendremos las rectas t1 y t2 abatidas.
En mi caso, el ángulo que he seleccionado como ángulo entre rectas y, por tanto, ángulo entre los planos ABCD y CDEF es el menor de 90°.
Os inserto el en lace al archivo de Geogebra donde podéis ver el protocolo de construcción del ejercicio. No he podido incrustarlo en el blog como de costumbre porque es un archivo muy largo.

Ángulo entre planos que se cortan_Geogebra


En la siguiente entrada del blog explicaremos cómo desarrollar este ejercicio CON línea de tierra, y así poder analizar las diferencias entre una ejecución y otra.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

miércoles, 6 de abril de 2016

Inversión_Resolviendo

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! 
Ya estamos de vuelta para resolver el ejercicio propuesto en el anterior post! Espero que pudieséis resolverlo con ayuda de los apuntes de inversión.

Volvemos a recordar el enunciado y los datos:
Realizar la inversión de la figura ABCD con respecto al centro de inversión y la razón de inversión dados. (datos en negro y rojo)
Como podéis comprobar, la mejor opción sería comenzar el ejercicio simplificándolo en alguno de los casos que hemos estudiando anteriormente, es decir, en lugar de tener segmentos y semicircunferencias, dibujaremos las RECTAS y las CIRCUNFERENCIAS que forman la figura para tener elementos que podamos controlar.
Tendríamos entonces los siguientes elementos:
- recta DA que pasa por el centro de inversión O
- recta AB (s)
- circunferencia (c) que pasa por los puntos B y C
- recta CD (r)
Vamos a resolverlo en este orden, así que podéis imaginar que vamos a tener cuatro ejercicios diferentes, los cuales iremos enlazando.

En primer lugar tenemos la INVERSIÓN DE UNA RECTA CON O EN ELLA. Si recordáis, nos tenemos que "apoyar" en la cpd a través de la potencia. Así, encontramos tanto A' como D' ya que la inversa de la recta es ella misma.

El siguiente elemento sería el segmento AB que se encuentra en la recta s, por lo que estamos en la INVERSIÓN DE UNA RECTA CON O FUERA DE ELLA. La inversa será, por tanto, una circunferencia que pasa por O.
Lo primero que vemos es que la recta corta con la cpd, por lo que ta tenemos dos puntos de la circunferencia. Junto con el otro punto inverso A' podemos construir la circunferencia s' y encontrar B'
 El siguiente punto que hay que invertir es el punto C, por tanto el caso sería INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA CON O FUERA DE ELLA. En este caso vamos a utilizar varias características de este caso:
- el centro de la circunferencia inversa estará en la recta OCentro
- al tener el punto A y A' ya inverso, podemos utilizarlos de "base" de la inversión, por lo que nos olvidaríamos de la circunferencia que pasa por B y C y pensaríamos en C como en un punto cualquiera.Creamos pues la circunferencia que pasa por A, A' y C, y obtendríamos C'
- para obtener el centro de la circunferencia lo podremos hacer con homología o con el método explicado en el anterior post
 El último ejercicio es una repetición de otro anterior: INVERSIÓN DE UNA RECTA CON O FUERA DE ELLA.
en este caso la circunferencia va a pasar por los puntos O, D', C' y los puntos dobles de la cpd GG' y HH'.


Hasta aquí el ejercicio sobre inversión. El resultado final, no solo de la figura sino también de los elementos que la componen sería el siguiente:

Os adjunto el archivo de Geogebra para que podáis jugar con los elementos y ver las diferentes posiciones.





Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

martes, 5 de abril de 2016

Inversión_Las básicas

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Después de un parón (obligado) para centrarme en actividades del Máster, vuelvo con ganas aunque con poco tiempo!!

En relación a lo visto en el post anterior, ahora vamos a analizar los casos de INVERSIÓN y la relación con los elementos que expusimos anteriormente. Pero, antes de empezar me surge una duda… ¿para qué analizar estos ejercicios si en Geogebra existe un botón que lo elabora automáticamente? Espero que me contestéis vosotros mismos :)



INVERSIÓN DE UNA RECTA r

Para comenzar, intentaremos analizar las inversiones de una recta según la posición del centro de inversión (O):

1. Inversión de una recta r con O en r
En este caso podemos comprobar en el archivo de Geogebra que la inversa de r será ella misma r’, pero hay que destacar que los únicos puntos dobles son los coincidentes con la cpd (CC’ y DD’).




2. Inversión de una recta r con O fuera de r
Como vemos en el archivo de Geogebra, los elementos de inversión que nos dan son el centro de inversión (O) y la circunferencia de puntos dobles (cpd), que se darán en todos los ejercicios que propongamos. En este caso, el centro de inversión se encuentra fuera de la recta, por lo que su inversa será una circunferencia que pasa por O. Lo podemos “dmeostrar” con el siguiente razonamiento:

Sabemos que el ángulo OAB siempre va a ser 90 grados, por tanto el ángulo OB’A’ será también 90 grados (ángulos en naranja) por proporción de triángulos. Por tanto, B’ se encontrara en el arco capaz de 90 para OA’. Como la recta r se forma por todas las posiciones posibles de B (moverlo en Geogebra!), su inversa será la circunferencia de diametro OA’.




Presento también la opción de si la cpd corta a la recta r. en este caso ya tendríamos dos PUNTOS DOBLES por los que va a pasar la inversa r’ (circunferencia). Os invito a jugar con ambos archivos y mováis la posición de la recta y veáis los diferentes resultados.




INVERSIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA c

La inversión de una circunferencia varía según la posición del centro de inversión (O), por lo que tenemos que analizar los dos posibles casos.

3. Inversión de una circunferencia c con O en c
Este caso está relacionado con el caso anterior, ya que es el “caso contrario” como podéis imaginar, por tanto, queda claro que la inversa de la circunferencia será UNA RECTA. Esto se debe a que la inversión es INVOLUTIVA. La característica principal de esta recta es que será perpendicular a la recta OA (siendo A el centro de la circunferencia).




Si la cpd cortase a la circunferencia, volveríamos a tener dos puntos dobles, por lo que directamente ya construiríamos la recta inversión c’. Os muestro ambos archivos de Geogebra para que veáis las diferencias.




4. Inversión de una circunferencia c con O fuera de c
En este tipo de inversión conlleva un concepto muy importante en el dibujo técnico: LA TANGENCIA. Ya sabemos que también tiene mucho que ver con potencia, así que vamos a ver cómo utilizarlo para conseguir la inversión.
Pero, si comenzamos a realizar la inversión de dos puntos de la circunferencia A y B: k= OAxOA’=OBxOB’
La potencia desde O hasta la circunferencia c: p=OAxOB
Si dividimos ambas expresiones llegamos al resultado k/p=OA’/OB=OB’/OA. Este resultado nos lleva a la conclusión de que los puntos A’ y B y los puntos B’ y A son HOMOTÉTICOS en la homotecia de centro 0 y razon k/p.
Os invito a ver el trazado de la inversión en el archivo de Geogebra.

Con esto hemos expuestos todos los casos posibles de inversión, por lo que ya podríamos realizar cualquier tipo de ejercicio que se pueda proponer. Por ello, os propongo el siguiente:
- Realizar la inversión de la figura ABCD con respecto al centro de inversión y la razón de inversión dados. (datos en negro y rojo)


En el próximo post resolveremos este ejercicio, espero vuestras dudas y sugerencias sobre el concepto de inversión.


Un saludo, y no dejéis de dibujar!!

lunes, 4 de abril de 2016

Inversión_Primeros pasos

<<Actividad propuesta para la asignatura de Bases en el Máster en Formación del Profesorado>>

Hola a todos los curiosos del dibujo en general y del dibujo técnico en particular!! Después de un parón (obligado) para centrarme en actividades del Máster, vuelvo con ganas aunque con poco tiempo!!

El tema que vamos a tratar en este post es la INVERSIÓN. A muchos os sonarán cosas relacionadas con esto como tangencias, Apolonio...pero quiero comenzar con lo básico para poder abordar bien un concepto no fácil de entender.

En primer lugar quiero que veáis el esquema principal de inversión positiva, los elementos que intervienen y cómo varías según su posición.

 En una inversión, los elementos principales son: 
- centro de inversión (O)
- circunferencia de puntos dobles (cpd): y sus puntos en una inversión positiva, ya que en una inversión negativa la circunferencia es doble pero no sus puntos.
- puntos inversos: para definir la inversión son necesarios si no nos diesen la razón de inversión OAxOA'=k -> OT=raíz de k
- circunferencia de autoinversión: dos pares de puntos son concíclicos.

Para que podáis ver cómo cambian los resultados según la posición del punto B, os dejo el enlace de Geogebra en movimiento.

 Analizando los pares de puntos tenemos que:
- los ángulos opuestos del cuadrilátero inscrito son COMPLEMENTARIOS.
- las rectas r-s y m-n son ANTIPARALELAS (rectas que se cortan en un punto). Las rectas antiparalelas m y n lo son respecto a r y s.


Creo que con estos primeros conceptos importantes podríamos comenzar a adentrarnos en los tipos de inversión. En el siguiente post explicaremos las situaciones en las que intervendrá la inversión, y propondremos ejercicios para que pongáis en práctica la teoría.

Un saludo, y no dejéis de dibujar!!